chuyên đề bất đẳng thức tích phân

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "chuyên đề bất đẳng thức tích phân": http://123doc.vn/document/538343-chuyen-de-bat-dang-thuc-tich-phan.htm

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

5
( )
( )
2
0 0 0
4 4 4
4 7 4
1 49
( )
4 2 16
49 49
7 4
16 16
x
tgx tgx
f x
f dx dx tgx tgx dx
∏ ∏ ∏
 
+ −
≤ =
 
 
 
∏
⇒ ⇒ −
∫ ∫ ∫
 



4 6 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 6 4 6
0
5
5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos
1
(2 2 cos )(1 cos ).cos .cos .cos
2
1 2 2 cos 1 cos cos cos cos
2 5
243 243
sin .cos sin .cos
6250 6250
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x xdx
= − −
= − −
 
− + − + + +
≤
 
 
∏
⇒ ≤ ⇒ ≤


∏
∫


Chứng minh rằng :
(
)
2 2 2 2
2
3
5 2
1. cos 3sin sin 3cos
3
x x x x dx
−
∏
∏
∏
+ + +
∫



(
)
( )
2 2
1
2. 3 2 ln 5 2ln 4 1
e
x x dx e+ + − −
∫


2
3 cos sin
3.
4 4
4
x x
dx
x
∏ + ∏
−
+
∫
 


Bài giải :
1. Đặt
2 2 2 2
( )
1 cos 3sin 1. sin 3cos
x
f x x x x= + + +
( )
( )
( )
( )
(
)
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 3 3
2
2 cos 3sin 3cos sin 2 2
5 2
2 2 cos 3sin sin 3cos
3
x x
x
f x x x x f
f dx dx x x x x dx
∏ ∏
− − −
∏ ∏ ∏
∏
+ + + ⇒
∏
⇒ ⇒ + + +
∫ ∫ ∫
 
 


2. Đặt
( )
2 2
1 3 2 ln 1 5 2ln
x
f x x= + + −

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2 3 2ln 5 2ln 4
4 3 2 ln 5 2 ln 4 1
x x
x
e e
e
f x x f
f dx dx x x dx e
≤ + + − ⇒ ≤
⇒ ⇒ + + − ≤ −
∫ ∫ ∫



( )
2 2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin
3 cos sin 3 cos sin
2
2
4 4 4 4
x x x x
x x x x
dx
x x x x
 
+ ≤ + +
 
+ +
⇒ ≤ ⇒ ≤
+ + + +
∫ ∫


Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

6
Đặt
( )
2
2 2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = +

( )
( )
2
2
2
0 0 0
2 2
0 0
4 4
2
2 2
2 1
0 1 1
4 2 8
4 1
0
4
3 cos sin
3 cos sin
4 4 4 4 4
tg t
x dx
dt dt
x
tg t
t
x x
x x
dx dx
x x
∏ ∏
+
∏
⇒ = = =
∏
+
+
+
∏ ∏ + ∏
⇒ ⇒ −
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫

  















ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ
CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN


Chứng minh rằng :
2 2
0 0
0 0
2 2
1 1
4
4
1. sin 2 2 cos
2. sin 2 2 sin
1 2 1
3.
1
xdx xdx
xdx xdx
x x
dx dx
x x
∏ ∏
∏
∏
≤
− −
<
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫


2
2
0
2 2
2
1 1
0 0
4 4
sin sin
4
5. (ln ) ln
6. sin cos
x x
dx dx
x x
x dx xdx
xdx xdx
∏
∏
∏
∏ ∏
>
<
<
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫




Bài giải :
∏ ∏
0 0
4 4
0 sin 1
1. 0; 2sin .cos 2 cos
0 cos 1
4
sin 2 2 cos sin 2 2 cos
x
x x x x
x
x x xdx xdx

≤ ≤
 

∏

 
∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤


 
≤ ≤
 


⇔ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫


Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

7
∏ ∏

0 0
2 2
cos 1
2. 0; 2sin 2 . cos 2 sin
0 sin
2
sin 2 2 sin sin 2 2 sin
x
x x x x
x
x x xdx xdx

≤
 

∏

 
∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤


 
≤
 


⇔ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫


[ ]
 3. 1;2x∀ ∈
Xét hiệu :

2
-1 2 1 1
0
1 ( 1)
x x x x
x x x x
− − + −
− = <
+ +

1 1
2 2
1 2 1 1 2 1
1 1
x x x x
dx dx
x x x x
− − − −
⇒ < ⇒ <
+ +
∫ ∫


4. Đặt
- -x u dx du= ∏ ⇒ =

∏
∏
∏
0
∏
∏
∏
∏


0
2
2
2
sin sin( ) sin
2
( )
0
2
1 1
0 0
2
x
x u x
dx du dx
x u x
u
x x x
x x
∏−
⇒ = − =
∏− ∏−
∏
< < ⇒ < < ∏− ⇒ <
∏−
∫ ∫ ∫

Vì :
∏ ∏
∏
0
2 2
sin sin sin sin
sin 0
x x x x
x dx dx
x x x x
> ⇒ < ⇒ <
∏− ∏−
∫ ∫


∏
∏
∏
2
2
0
sin sinx x
dx dx
x x
⇒ >
∫ ∫


5. Hàm số y = f(x) = lnx liên tục trên [1,2] nên y = g(x) = (lnx)
2
cũng liên tục trên [1,2]
[ ]
⇒ ⇒
∀ ⇒
2
2
1 1
2 2
1 2 0 ln ln 2 1 (*) 0 (ln ) ln
1,2 (ln ) ln
x x x x
x x dx xdx
< <
<
∫ ∫
    
∈ 

Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy ra tại x
0
= 1
⊂
⊂⊂
⊂
[1,2]

0
∏
∏
∏ ∏
⇒ ⇔
⇔ ⇔
0
4
4
sin
6. 0 0 1 1
4 4 cos
sin cos sin cos
x
x tgx tg
x
x x xdx xdx
< < < < = <
< <
∫ ∫



Chứng minh rằng :
2
x
1
0
1
0
1
0
1
8
25
3
0
3
1. 2 4 5
1 1
2. 1
2
1
1 1
3.
26
26 2
1
dx
dx
x
x
dx
x
+
+
+
∫
∫
∫



  
 
 

<
2
8
∏
∏ ∏
1
0
2
1
2 3
0
1
3
.sin
4. 1 ln 2
1 .sin
.sin
5.
12
1
6.
6
4
x
x x
dx
x x
e x
dx
e
x
dx
x x
−
−
+
+
− −
∫
∫
∫

0



 

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

8

Bài Giải:
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1. 0 1 0 1 4 4 5 2 4 5
2 4 5 2 4 5
x x x x
dx x dx dx x dx





≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤
+
⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
8 8
8
8
1 1 1 1
0 0 0 0
8 8
2. 0 1 0 1 1 1 2
1 1
0 1 2 1
2
1
1 1
1
2 2
1 1
x x x
x
x
dx dx
dx dx
x x



≤ ≤ ⇒ + ⇒ +
⇒ ⇔
+ +
⇒ ⇒
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
310 10
3
25 25
25
3 3
3 310 10
25 25
1 1 1 1
25 25
3 3
0 0 0 0
3 310 10
3. 0 1 1 1 2 1 1 2
1 1
1
2 2
1 1
1 1 1
26
2 26 2
1 1
x x x
x x
x
x x
x x
x dx dx x dx dx
x x
   
   
   


4. Trước hết ta chứng minh :
[ ]
sin
;(1) 0,1 .
1 sin 1
x x x
x
x x x


∀
+ +
 ∈

Giả sử ta có : (1).
[ ]
(1) ⇔ ∀ ⇔
1 1 1 1
1 1 ; 0.1
1 sin 1 1 sin 1
x
x x x x x x
− −
+ + + +
 

⇔ ⇔
1 1 .sin (1 sin ) 0x x x x x+ + −

 
đúng
[ ]
∀
0,1x ∈
Vậy (1) đẳng thức đúng , khi đó:
( )
⇔
⇔
⇒
1 1 1
0 0 0
1
1
0
0
1
0
sin 1
(1) 1
sin 1 1
.sin
ln 1 1 ln 2
1 sin
.sin
1 ln 2.
1 .sin
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
dx x x
x x
x x
dx
x x
 


= −




 
+ + +
− + = −
+
−
+
∫ ∫ ∫
∫
∫







( )
( )
2
2
2 2 2
1 1 1
3 3 3
1 1
0
sin 1
5. 1, 3 0, 0
1
1
0 sin 1
sin 1 1
0 ;
1 1 1
x
x
x
x
e
e x
x
e
e
x
e x
x
e x dx dx
dx I I
e e
x x x
−
−
−

< =

 
⊂ ∏ ⇒ ⇒ < <

 
+
+

< <

⇒ < < = =
+ + +
∫ ∫ ∫


∈

Đặt
2
2
1
(1 )
cos
x tgt dx dt tg t dt
t
= ⇒ = = +


Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

9
( )
3 3
2
3
2
4
4 4
1
1 3
1 12
4
tg t
x
dt dt t
tg t
t
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
+
∏
⇒ Ι = = = =
∏ ∏
+
∫ ∫

4

Vậy
2
1
3
sin
0
12
1
x
e x
dx
e
x
−
∏
< <
+
∫



3 2 2 3
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2 3 2
1 1 1
0 0 0
2 2 3 2
6. 0 1 0 0
4 2 4 4
4 2 4 4
1 1 1
4 2 4 4
1 1 1
4 4 4 2
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
I dx dx dx J
x x x x
⇒ ⇒ − −
⇒ − − − −
⇒ − − − −
⇒
− − − −
⇒ = =
− − − −
∫ ∫ ∫

     
 
 
 
 


Đặt
2sin 2 cosx t dx tdt= ⇒ =

( )
2
0 0
6 6
0 1 2 cos
6
0
4 2sin
6
x tdt
I dt
t
t
∏ ∏
∏
⇒ = = =
∏
−
∫ ∫


Đặt
2 sin 2 cosx t dx tdt= ⇒ =

0 1
0
4
x
t
∏


( )
4
0
2
0
4
2 cos 2 2
2 8
4 2 2 sin
tdt
J
t
∏
∏
∏
⇒ = = =
−
∫

1
0
2 3
2
6 8
4
dx
x x
∏ ∏
⇒ ≤ ≤
− −
∫



Chứng minh rằng :
2
2
1
0
sin
2
0
1
1. 1
2.
2 2
x
x
e
e dx
e
e dx e
−
∏
−
∏ ∏
∫
∫


 
 

2
2
0
1
4
0
1 6
3. 1 sin .
2 2 4
1
4. 0.88 1
1
x dx
dx
x
∏
∏ ∏
≤ + ≤
< <
+
∫
∫




Bài giải :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

10
( )
( )
2
2
2
2 2
2
0
1. 0 1 0 1 0
1 1
1
0 1 1 2
x x
x x
x
x
x x
x x x e e
e e
e
e
e e e
− −
−
⇒ ⇒ <
⇒ ⇔
⇒ = ⇒


     
 
  
2
°
°x

Từ (1) và (2) suy ra
2
: 1
x x
e e
− −

 

2 2 2
1 1 1 1
0 0 0 0
1
1
x x x
e
e dx e dx dx e dx
e
− − −
−
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
   


2
2 2
2 sin
2 2 2 2
sin sin
0 0 0 0
2. 0 sin 1 1
.
2 2
x
x x
x e e
dx e dx e dx e dx e
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
   
   


2 2 2
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 3
3. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin
2 2 2 2
1 3 1 6
1 sin 1 sin .
2 2 2 2 4
x x x
dx x dx dx x dx
∏ ∏ ∏ ∏
⇒ ⇒ +
∏ ∏
⇒ + ⇒ +
∫ ∫ ∫ ∫


     
   


4.
Cách 1:
( )
0,1x∀ ∈
thì
4 2 4 2
4 2
1 1
1 1
1 1
x x x x
x x
< ⇒ + < + ⇒ >
+ +


( )
1
2
4 2
0
1 1
ln 1 ln 1 2 0,88
1 1
dx dx x x
x x
1 1
0 0
⇒ > = + + = + >
+ +
∫ ∫

Mặt khác :
1
4
4 4
0
1 1
1 1 1 1
1 1
x dx
x x
+ > ⇒ < ⇒ <
+ +
∫


Vậy :
1
4
0
1
0,88 1
1
dx
x
< <
+
∫


Chú ý : học sinh tự chứng minh
2 2
2 2
1
ln
dx x x a C
a x
= + + +
+
∫
bằng phương pháp tích phân từng
phần .

Cách 2 :
( )
4 2 2
1
4 2 4
0
0,1 1
1 1 1
1 1 1
x x x x x
dx I
x x x
4
⇒ < ⇒1+ < +
⇒ > ⇒ >
+ + +
∫
∈

Với :
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫


Đặt
( )
2
2
1
1
cos
x tgt dx dt tg t dt= ⇒ = = +

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

11
( )
( )
4 4
4
2
0 0
2
2
0
1
0 1 1
cos
0
1
4
cos
1 sin
tg t
x
I dt dt
t
t
tg t
t
I dt
t
∏ ∏
∏
+
= =
∏
+
=
−
∫ ∫
∫



Đặt
0
4
sin cos
0
t
u t du tdt
u
∏
= ⇒ =
1
2

( )( )
2
0 0 0
1
2
0 0
0
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
ln
2 1 2 1 2 1
du u u
I du du
u u u u u
u
du du
u u u
1 1
2 2
1 1
2
2
1
2
− + +
 
= = = +
 
− − + + −
 
+
= + =
+ − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫

4
1 2 2 1
ln 0,88 0,88
2
2 2
1
I dx
x
1
0
+
= > ⇒ >
−
+
∫

Mặt khác
4
4
1
:1 1 1
1
x
x
+ > ⇒ <
+


( )
4
1
1 2
1
dx dx
x
1 1
0 0
⇒ < =
+
∫ ∫


Từ (1) và (2) suy ra :
1
4
0
1
0.88 1
1
dx
x
< <
+
∫


Chứng minh rằng :
4
2
0
1
0
3
2
1
1. 0
32
cos
2. ln 2
1
.sin
3.
1 12
x
x tgx dx
nx
dx
x
e x
dx
x e
∏
−
∏
< <
+
∏
<
+
∫
∫
∫





( )
200
100
3
2
1
1
1 1
0
cos
4.
1 12
cos 1
5.
200
1 1 1
6. 1 1
1 2 1 2
1
x
x
n
n n
e x
dx
x e
x
dx
x
e e
dx
n n
x
∏
∏
−
− −
∏
<
+
∏
   
− −
   
− −
   
+
∫
∫
∫




 


Bài giải :
1. 0 0 1 0 1 0
4
x tgx tgx x tgx x
∏
⇒ ⇒ ⇒        

Xét
: 0
4
x
α β
∏
< < < <
ta có :
4 4
0 0
0 1
0
0
4
tgx
x tgx x
x
I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dx
α β
α β
∏ ∏
< <


⇒ <

∏
< <


= = + +
∫ ∫ ∫ ∫



Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

12
Ta có :
4 4
4 4
4
0 0
0 0
2
0
0
0 0
0
0
32
x tgx dx xdx
x tgx dx xdx x tgx dx xdx
x tgx dx xdx
x tgx dx
α α
β β
α α
β β
∏ ∏
∏ ∏
∏




< < ⇒ <





∏
⇒ < <
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫




 

 

Chú ý :
( )
[ ]
, ,a b
α β
⊂
thì
( ) ( ) ( ) ( )
b b
x x x x
a b
f dx f dx f dx f dx
α β
α β
= + +
∫ ∫ ∫ ∫


Tuy nhiên nếu :
( )
x
m f M 
thì :
( )
( )
( )
( )
b b b b
x x
a a a a
m dx f dx M dx m b a f dx M b a
⇒ − −
∫ ∫ ∫ ∫
   

Nhưng
( )
[ ]
, ,a b
α β
⊂
thì
( ) ( )
b b b
x x
a a a
m dx f dx M f dx< <
∫ ∫ ∫

(Đây là phần mắc phải sai lầm phổ biến nhất )Do chưa hiểu hết ý nghóa hàm số
( )
x
f
chứa
( )
,
α β
liên
tục
[ ]
,a b
mà
( )
,
α β
⊂
[ ]
,a b
)

1 1 1 1
1
0
0 0 0 0
1
0
cos
cos cos 1
2. ln 1 ln 2
1 1 1 1
cos
ln 2
1
nx
nx nx
dx dx dx x
x x x x
nx
dx
x
= = + =
+ + + +
⇒
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
 



1
3 3 3
2 2 2
1 1
1
3. 1 3
sin 1
1
.sin .sin
1 1 1
x
x x
e e
e
x
x
e x e x
e
dx dx dx
x x x
− −
− −

=

⇒



⇒
+ + +
∫ ∫ ∫



 

 

3
2
1
.sin 1
.
1
x
e x
dx I
x e
−
⇒
+
∫

với
3
2
1
1
1
I dx
x
=
+
∫

Đặt
( )
2
1x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +


( )
3 3
4 4
2
2
1
1 3
1 12
4 3
tg t
x
dt dt
tg t
t
∏ ∏
∏ ∏
+
∏
⇒ Ι = = =
∏ ∏
+
∫ ∫


( )
3
1
.sin
*
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
⇒
+
∫

(Cách 2 xem bài 4 dưới đây )
Đẳng thức xảy ra khi :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

13
1
1
, 1, 3
sin 1
sin 1
x
x
e e
x x
x
x
− −
=

=

 
⇔ ⇒ ∅ ∀
 
 
=
=


∈ ∈

Vậy
3
2
1
.sin
:
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
<
+
∫


Xem lại chú ý trên , đây là phần sai lầm thường mắc phải không ít người đã vội kết luận đẳng thức (*)
đúng . Thật vô lý

3 3 3
2 2 2
1 1 1
cos cos
4.
1 1 1
x x x
e x e x e
dx dx dx
x x x
− − −
+ + +
∫ ∫ ∫

 

Do
x
y e
−
=

giảm
( )
1
1
max
x
e e
e
− −
⇒ = =


3 3
2 2
1 1
cos 1 1
1 1 12
x
e x
dx dx
x e x e
−
∏
⇒ =
+ +
∫ ∫

;do I bài 3


Dấu đẳng thức :
1
1
, 1, 3
cos 1
cos 1
x
x
e e
x x
x
x
− −
=

=

 
⇔ ⇔ ∅ ∀
 
 
=
=


∈ ∈

Vậy
3
2
1
cos
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
<
+
∫



5. Đặt
2
1
1
cos
sin
du dx
u
x
x
dv xdx
v x


= −
=
 
⇒
 
=
=






200
200 200
2
100 100
100
200
200 200
2
100 100
100
cos 1 sin
sin
cos 1 1 1
200
x x
dx x dx
x x x
x
dx dx
x x x
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
⇒ = +
⇒ = − =
∏
∫ ∫
∫ ∫


Vậy
200
100
cos 1
200
x
dx
x
∏
∏
∏
∫



Bài toán này có thể giải theo phưong pháp đạo hàm .

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

14
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1 1
1 1
1
0
0 0
1
6. 0 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
.
1 1
1
x
x
n n n
x
n n n
n n
x
n
e e
x e e
x x x
e
dx dx e dx
x x x
x x
e
dx e
n n
x
− −
⇒ ⇒
+ + +
⇒
+ + +
+ +
⇔
− −
+
∫ ∫ ∫
∫
     
 
 

Vậy
( )
1
1 1
0
1 1 1
: 1 1 ; 1
1 2 1 2
1
x
n
n n
e e
dx n
n n
x
− −
   
− − >
   
− −
   
+
∫

 

Bài toán này có thể giải theo phương pháp nhò thức Newton .

Chứng minh rằng : nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục và x xác đònh trên [a,b] , thì ta có :
( ) ( )
(
)
( ) ( )
2
2 2
. . .
b b b
x x x x
a a a
f g dx f dx g dx
∫ ∫ ∫



Cách 1 :
Cho các số
1
α
, tuỳ ý
( )
1,i n
∈
ta có :
( )( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1
n n n n
α α α β β β α β α β α β
+ + + + + + + + + 

Đẳng thức (1) xảy ra khi :
1 2
1 2

n
n
α
α α
β β β
= =

Thật vậy : phân hoạch [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia :
a = x
0
< x
1
< x
2
< …. <x
n
= b và chọn :
[ ]
1 1
, ,
i i
b a
x x i i n
n
ξ
−
−
= ∀
∈ ∈

Do f và g liên tục , ta có :

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
1
2 2
1
lim 2
lim 3
n
b
i
x
a
n
i
n
b
i
x
a
n
i
n
b a
f dx f
n
b a
g dx g
n
ξ
ξ
→+∞
=
→+∞
=
→∞
−

=



−

=


∑
∫
∑
∫



Khi đó (1)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1
lim . lim .
lim . . 4
n n
i i
n n
i i
n
i i
n
i
b a b a
f g
n n
b a
f g
n
ξ ξ
ξ ξ
→+∞ →+∞
= =
→+∞
=
− −
⇔
−
 
 
 
∑ ∑
∑




Từ (4) ta cũng có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
. .
n n n n
i i i i
i i i i
f g f g
ξ ξ ξ ξ
= = = =
 
 
 
∑ ∑ ∑ ∑
5


Đẳng thức xảy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x)