phương pháp tối ưu hóa

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "phương pháp tối ưu hóa": http://123doc.vn/document/536746-phuong-phap-toi-uu-hoa.htm

5
4.3. Phương pháp Wolfe giải bài toán quy hoạch toàn phương
4.4. Giải bài toán quy hoạch toàn phương bằng bài toán bù
121
123
5. QUY HOẠCH TÁCH VÀ QUY HOẠCH HÌNH HỌC
126
5.1. Quy hoạch tách
5.2. Quy hoạch hình học
126
129
BÀI TẬP CHƯƠNG V
133
CHƯƠNG VI. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT QUY HOẠCH LỒI
VÀ QUY HOẠCH PHI TUYẾN

136
1. TẬP HỢP LỒI
136
1.1. Bao lồi 136
1.2. Bao đóng và miền trong của tập lồi 138
1.3. Siêu phẳng tách và siêu phẳ
ng tựa của tập lồi
1.4. Nón lồi và nón đối cực
139
144
2. ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH LỒI VÀO BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
145
2.1. Điểm cực biên và hướng cực biên 145
2.2. Biểu diễn tập lồi đa diện qua điểm cực biên và hướng cực biên
2.3. Điều kiện tối ưu trong phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch
tuyến tính
148

150
3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI
152
3.1. Các đị
nh nghĩa và tính chất cơ bản 152
3.2. Dưới vi phân của hàm lồi 153
3.3. Hàm lồi khả vi 155
3.4. Cực đại và cực tiểu của hàm lồi 158
4. CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU FRITZ – JOHN VÀ KUHN – TUCKER
162
4.1. Bài toán tối ưu không ràng buộc 162
4.2. Bài toán tối ưu có ràng buộc 164
4.3. Điều kiện tối ưu Fritz – John
4.4. Điều kiện tối ưu Kuhn – Tucker
166
166
5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG CHẤP NHẬN GIẢI
BÀI TOÁN QUY HOẠ
CH PHI TUYẾN

170
5.1. Phương pháp hướng chấp nhận
5.2. Thuật toán Frank – Wolfe giải bài toán quy hoạch lồi có miền ràng buộc
là tập lồi đa diện
170

172
5.3. Phương pháp gradient rút gọn
5.4. Phương pháp đơn hình lồi Zangwill
172
174
6. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG GIẢI
BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

177
6.1. Bài toán ellipsoid xấp xỉ 177
6.2. Một số thuật toán điểm trong 181
BÀI TẬP CHƯƠNG VI
183
TÀI LIỆU THAM KHẢO
186

6

Mở đầu
Tối ưu hóa, được khởi nguồn như một ngành của Toán học, có rất nhiều ứng dụng hiệu quả
và rộng rãi trong quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh
doanh, kiến trúc đô thị, công nghệ thông tin, trong việc tạo nên các hệ hỗ trợ ra quyết định trong
quản lý và phát triển các hệ thống lớn. Chính vì vậy, các lĩnh vực của Tố
i ưu hóa ngày càng trở nên
đa dạng, mang nhiều tên gọi khác nhau như Quy hoạch toán học, Điều khiển tối ưu, Vận trù học, Lý
thuyết trò chơi… Hiện nay, môn học Tối ưu hóa được đưa vào giảng dạy trong nhiều chương trình
đào tạo đại học cho các ngành khoa học cơ bản, kỹ thuật – công nghệ, kinh tế – quản lý, sinh học
– nông nghiệp, xã hội – nhân văn, sinh thái – môi trườ
ng … với thời lượng thông thường từ ba
cho tới sáu học trình. Đối với sinh viên các ngành Tin học, Công nghệ thông tin và Toán – Tin
ứng dụng, môn học Tối ưu hóa là một môn học cơ sở không thể thiếu. Giáo trình “Tối ưu hóa”
này được biên soạn với mục đích cung cấp cho sinh viên năm thứ hai ngành Tin học của Khoa
Công nghệ thông tin, Trường Đại học Nông nghiệp I, một số kiến thức cơ bả
n về các lĩnh vực
quan trọng của Tối ưu hóa. Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm được cơ sở lý thuyết ở một
mức độ nhất định, nắm chắc các thuật toán tối ưu cơ bản để áp dụng trong việc xây dựng các
phần mềm tối ưu tính toán giải các bài toán kinh tế, công nghệ, kỹ thuật và quản lý.
Chương I giới thiệu tổng quan và ngắn gọn bài toán tối ưu t
ổng quát và phân loại các bài
toán tối ưu cơ bản, cũng như giới thiệu một số ví dụ và mô hình tối ưu phát sinh trong thực tế.
Phần đầu trình bày về Quy hoạch tuyến tính bao gồm chương II, III và IV. Phần này nhấn mạnh
vào việc trình bày các phương pháp và thuật toán cổ điển của Quy hoạch tuyến tính, như phương
pháp đơn hình (bao gồm cả phương pháp hai pha và phương pháp đơn hình cải biên dạng ma
trận nghịch
đảo), phương pháp đơn hình đối ngẫu, phương pháp thế vị giải bài toán vận tải, các
phương pháp cắt Gomory và nhánh cận Land – Doig cũng như phương pháp quy hoạch động giải
bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên. Phần sau của giáo trình bao gồm hai chương về Quy
hoạch phi tuyến. Chương V trình bày một số phương pháp và thuật toán tối ưu phi tuyến không
có ràng buộc và có ràng buộc, bao gồm phương pháp đường dốc nhất, phương pháp Newton,
phương pháp hướng liên h
ợp, các phương pháp giải quy hoạch toàn phương thông dụng, phương
pháp quy hoạch tách và quy hoạch hình học. Chương VI giới thiệu về cơ sở lý thuyết của quy
hoạch lồi và quy hoạch phi tuyến. Phần giới thiệu về một lớp phương pháp điểm trong giải bài
toán quy hoạch tuyến tính ở cuối giáo trình mang tính chất tham khảo, có thể dành cho sinh viên
nghiên cứu theo nhóm và thảo luận. Việc chứng minh một số định lý khó nên để sinh viên tự

nghiên cứu, không có tính bắt buộc. Khi biên soạn, chúng tôi luôn có một nguyện vọng là làm sao
việc trình bày các phương pháp tối ưu đề cập tới trong giáo trình cũng phải đáp ứng được “tiêu
chuẩn tối ưu”, sinh viên phải hiểu được và làm được. Chính vì vậy, các phương pháp luôn được
trình bày một cách cụ thể thông qua các ví dụ mẫu từ dễ tới khó, mà những ví dụ này có thể được
sử dụng nhiều lần để
tiết kiệm thời gian.
Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm về Quy hoạch tuyến tính là: Nguyễn Đức
Nghĩa, Tối ưu hóa, Nxb. Giáo dục, 2002; Phan Quốc Khánh – Trần Huệ Nương, Quy hoạch
tuyến tính, Nxb. Giáo dục, 2003. Về Quy hoạch phi tuyến có thể đọc thêm một số chương liên
quan trong các sách tham khảo sau: Bazaraa M.S, Shetty C.M, Nonlinear programming: Theory
and algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1990; Horst R, Hoàng Tụy, Global
optimization: Deterministic approaches, Springer Verlag, Berlin, 1993; Bùi Thế Tâm – Trần Vũ
Thiệu, Các phương pháp t
ối ưu hóa, Nxb. Giao thông vận tải, 1998. Người đọc cũng có thể sử
dụng Internet để tìm kiếm các tạp chí và tài liệu liên quan.
7
Chương I
Bài toán tối ưu tổng quát và ứng dụng
1. Bài toán tối ưu tổng quát và phân loại
1.1. Bài toán tối ưu tổng quát
Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng đến hầu hết
các lĩnh vực khoa học – công nghệ và kinh tế – xã hội. Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu
cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng. Phương án tối ưu là phương án hợp
lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu quả cao.
Ví dụ 1. Tìm
1
xD[2,2, 1,8] R∈=− ⊂
sao cho f(x) = x
3
– 3x + 1 → Max.
Bài toán tối ưu trên có dạng cực đại hoá được giải như sau: Cho f’(x) = 3x
2
– 3 = 0, ta có các
điểm tới hạn là x = –1 và x = +1. Xét giá trị hàm số f(x) tại các điểm tới hạn vừa tìm được và tại
các giá trị x = –2,2 và x = 1,8 (các điểm đầu mút của đoạn [–2,2, 1,8]), ta có f(–2,2) = –3,048 , f(–
1) = 3, f(1) = –1, f(1,8) = 1,432. Vậy giá trị x cần tìm là x = –1. Kết quả của bài toán được minh
hoạ trên hình I.1.












Cho hàm số f: D
⊂
R
n

→
R. Bài toán tối ưu tổng quát có dạng: Max (Min) f(x), với x
∈

D
⊂
R
n
. Như vậy, cần tìm điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
)
∈
D
⊂
R
n
sao cho hàm mục tiêu f(x) đạt
được giá trị lớn nhất đối với bài toán Max – cực đại hoá (giá trị bé nhất đối với bài toán Min
– cực tiểu hoá).
y
–3,048
–1
0
1
1,18
3
x
–2,2
–1
1,432
Hình I.1. Đồ thị hàm f(x)
8
Điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ D ⊂ R
n
được gọi là phương án khả thi (hay phương án chấp nhận
được hoặc phương án, nếu nói vắn tắt) của bài toán tối ưu: Max (Min) f(x), với x
∈
D
⊂
R
n
. Miền
D được gọi là miền ràng buộc. Các toạ độ thành phần của điểm x được gọi là các biến quyết định,
còn x cũng được gọi là véc tơ quyết định.
Xét bài toán cực đại hoá: Max f(x), với x
∈
D
⊂
R
n
. Điểm x* =
( )
12 n
x , x , , x
∗ ∗∗
∈ R
n
được
gọi là điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) toàn cục nếu x* ∈ D và f(x*) ≥ f(x), ∀x ∈ D. Điểm
x
∈ R
n
được gọi là điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) địa phương nếu
x
∈ D và tồn tại một lân
cận N
ε
đủ nhỏ của điểm
x
sao cho f(
x
) ≥ f(x), ∀x ∈ N
ε
∩ D.
Đối với bài toán cực tiểu hoá Min f(x), với x
∈
D
⊂
R
n
, điểm x* ∈ R
n
được gọi là điểm tối
ưu (hay phương án tối ưu) toàn cục nếu x* ∈ D và f(x*) ≤ f(x), ∀x ∈ D. Điểm
x
∈ R
n
được gọi
là điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) địa phương nếu
x
∈ D và tồn tại một lân cận N
ε
đủ nhỏ của
điểm
x
sao cho f(
x
) ≤ f(x), ∀x ∈ N
ε
∩ D.
Dễ thấy, mọi phương án tối ưu toàn cục cũng là phương án tối ưu địa phương, trong khi đó
một phương án tối ưu địa phương không nhất thiết là phương án tối ưu toàn cục. Trên hình I.1,
điểm x = 1 chỉ là phương án tối ưu địa phương khi xét bài toán cực tiểu hoá.
Ví dụ 2. Xét bài toán tối ưu sau: Max
12
f(x) 8x 6x= +
, với điều kiện ràng buộc
x ∈ D = { (x
1
, x
2
) ∈ R
2
: 4x
1
+ 2x
2
≤ 60; 2x
1
+ 4x
2
≤ 48, x
1
≥ 0, x
2
≥ 0}.
Bài toán tối ưu trên đây còn được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính. Người ta đã chứng
minh được rằng mọi phương án tối ưu địa phương của bài toán quy hoạch tuyến tính cũng đồng
thời là phương án tối ưu toàn cục.
1.2. Phân loại các bài toán tối ưu
Các bài toán tối ưu, cũng còn được gọi là các bài toán quy hoạch toán học, được chia ra
thành các lớp sau:
– Bài toán quy hoạch tuyến tính (BTQHTT),
– Bài toán tối ưu phi tuyến hay còn g
ọi là bài toán quy hoạch phi tuyến (BTQHPT), bao
gồm cả bài toán quy hoạch lồi (BTQHL) và bài toán quy hoạch toàn phương (BTQHTP),
– Bài toán tối ưu rời rạc, bài toán tối ưu nguyên và hỗn hợp nguyên.
– Bài toán quy hoạch động,
– Bài toán quy hoạch đa mục tiêu,
– Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên / mờ
Các phương pháp toán học giải các lớp bài toán tối ưu tổng quát như nêu trên đây được gọi
là các phương pháp tối ưu toán học (hay các phương pháp quy hoạch toán học). Trong giáo trình
này, trước hết chúng ta nghiên cứu các phươ
ng pháp giải BTQHTT, bao gồm cả các BTQHTT
nguyên và hỗn hợp nguyên. Sau đó, chúng ta sẽ xem xét các phương pháp giải một số dạng đặc
biệt của BTQHPT. Các phương pháp được xem xét chủ yếu về khía cạnh thủ tục tính toán thông
qua các ví dụ đơn giản, nhằm giúp cho sinh viên ngành Tin học, Công nghệ thông tin khi học giáo
trình này vào năm học thứ hai có thể làm quen với tư duy lập trình tính toán. Phần cuối của giáo
trình sẽ đề cập tới một số cơ sở
lý thuyết của giải tích lồi và quy hoạch phi tuyến, là các vấn đề có
9
tính chất nền tảng đối với những sinh viên quan tâm và có hướng tiếp tục nghiên cứu lĩnh vực Tối
ưu hóa.
2. Ứng dụng bài toán tối ưu giải quyết các vấn đề thực tế
2.1. Phương pháp mô hình hoá toán học
Nhiều vấn đề phát sinh trong thực tế có thể giải được bằng cách áp dụng các phương pháp
tối ưu toán học. Tuy nhiên, điểm mấu chốt ở đây là từ bài toán thực t
ế cần xây dựng được một mô
hình tối ưu thích hợp dựa vào các dạng bài toán tối ưu đã biết. Sau đó cần áp dụng phương pháp
tối ưu toán học và quy trình tính toán thích hợp để tìm ra lời giải cho mô hình đã đặt ra.
Các bước cần thiết tiến hành khi áp dụng phương pháp mô hình hoá toán học có thể được
phát biểu một cách khái quát như sau:
– Trước hết phải khảo sát bài toán thực tế và phát hiện vấn đề c
ần giải quyết.
– Phát biểu các điều kiện ràng buộc và mục tiêu của bài toán dưới dạng định tính. Sau đó
lựa chọn các biến quyết định / các ẩn số và xây dựng mô hình định lượng còn gọi là mô hình toán
học.
– Thu thập dữ liệu và lựa chọn phương pháp toán học thích hợp để giải quyết mô hình trên.
Trong trường hợp mô hình toán học là mô hình tối ưu, cần lựa chọn phương pháp tối ưu thích h
ợp
để giải mô hình.
– Xác định quy trình giải / thuật toán. Có thể giải mô hình bằng cách tính toán thông
thường trên giấy. Đối với các mô hình lớn, bao gồm nhiều biến và nhiều điều kiện ràng buộc cần
tiến hành lập trình và giải mô hình trên máy tính để tìm ra phương án thỏa mãn mô hình.
– Đánh giá kết quả tính toán. Trong trường hợp phát hiện thấy có kết quả bất thường, cần
xem xét nguyên nhân, kiểm tra và chỉnh sửa lại mô hình hoặc dữ liệu
đầu vào hoặc quy trình giải
/ thuật toán / chương trình máy tính.
– Kiểm chứng các kết quả tính toán trên thực tế. Nếu các kết quả thu được được coi là hợp
lý, phù hợp với thực tế hay được các chuyên gia đánh giá là có hiệu quả hơn so với các phương
án trước đây thì cần tìm cách triển khai phương án tìm được trên thực tế.
Rõ ràng rằng để giải quyết các vấn đề phát sinh từ các bài toán thực tế cần có được sự
hợp tác chặt chẽ giữa các chuyên gia trong lĩnh vực chuyên môn, các chuyên gia Toán, Toán
ứng dụng và các chuyên gia Tin học, kỹ sư lập trình. Điều này là đặc biệt cần thiết khi giải
quyết các bài toán cho các hệ thống lớn. Việc thiết lập được một mô hình hợp lý, phản ánh
được bản chất của bài toán thực tế đồng thời khả thi về phương diện tính toán luôn vừa mang
tính khoa học thuần túy, vừa có tính nghệ thuật. Các thuật ng
ữ sau thường gặp khi áp dụng
phương pháp mô hình hoá toán học:
– Toán ứng dụng (Applied Mathematics).
– Vận trù học (Operations Research viết tắt là OR).
– Khoa học quản lý (Management Science viết tắt là MS).
– Ứng dụng máy tính (Computer Applications).
– Mô hình tối ưu (Optimization Models)…
10
2.2. Một số ứng dụng của bài toán tối ưu
Những năm gần đây, nhiều bài toán thực tế được giải quyết bằng phương pháp mô hình hóa
toán học rất thành công. Trong số các mô hình toán học đã được áp dụng có nhiều mô hình tối ưu,
được giải quyết thông qua các bài toán tối ưu kinh điển. Trong trường hợp hàm mục tiêu cũng
như tất cả các ràng buộc đều là các hàm tuyến tính, thì bài toán tối ưu là BTQHTT. BTQHTT có
th
ể giải được bằng một số phương pháp tối ưu quen biết (như phương pháp đơn hình, phương
pháp đơn hình cải biên hay các phương pháp điểm trong). BTQHTT đã và đang được sử dụng
rộng rãi trong quy hoạch tài nguyên, quản lý sử dụng đất cũng như nhiều lĩnh vực của quản lý,
kinh tế và quản trị kinh doanh.
Trong trường hợp hoặc hàm mục tiêu hoặc một trong số các ràng buộc là phi tuyế
n, chúng
ta có BTQHPT. Trong các mô hình tối ưu dựa trên BTQHPT nói chung, và trong các mô hình tối
ưu trong lĩnh vực nông nghiệp nói riêng, lời giải tối ưu toàn cục có một ý nghĩa quan trọng.
Chẳng hạn trong thiết kế máy nông nghiệp, sau khi dùng phương pháp phân tích hồi quy nhiều
chiều, ta thường thu được hàm mục tiêu có dạng phi tuyến. Các bài toán tối ưu toàn cục cũng có
thể nảy sinh trong quy hoạch kinh tế – sinh thái vùng, hay xác định cơ cấu đất canh tác – cây
trồng. Bài toán đặt ra là phải tìm được lời giả
i tối ưu toàn cục. Có rất nhiều phương pháp giải các
lớp bài toán tối ưu phi tuyến riêng biệt, nhưng chưa có phương pháp nào tỏ ra hữu hiệu cho mọi
bài toán tối ưu phi tuyến, đặc biệt là cho các bài toán với một số hay tất cả các biến quyết định
nhận các giá trị nguyên.
Sau đây là các ví dụ minh hoạ một số ứng dụng của bài toán tối ưu.
Ví dụ 3. Bài toán quy hoạch sử dụ
ng đất (Mô hình tối ưu tuyến tính giải bài toán quy
hoạch sử dụng đất trên địa bàn xã Đông Dư, huyện Gia Lâm, tỉnh Hà Nội)
Chúng ta xét mô hình tối ưu với mục tiêu cần cực đại hoá là hiệu quả kinh tế. Để thiết lập
mô hình, trước hết chọn các biến quyết định. Dựa vào kết quả các dữ liệu đã thu được, ta chọn
các biến quyết định như sau: x
j
với j = 1, 2, …, 18 là diện tích các loại cây trồng, đơn vị tính là
ha (theo thứ tự là: lúa xuân, lúa mùa, ngô xuân, ngô đông, ngô bao tử đông, lạc xuân, đậu xanh
xuân, đậu tương đông đất chuyên màu, đậu tương đông đất ba vụ, dưa chuột xuân, dưa chuột bao
tử, mướp đắng xuân, rau mùi tàu, rau gia vị, đậu cô ve đông, ớt xuân, cà chua xuân, cà chua
đông), x
19
là diện tích ao hồ thả cá, x
j
với j = 20, …, 23 là số đầu vật nuôi trong năm (trâu, bò,
lợn, gia cầm). Còn x
24
là số công lao động thuê ngoài, x
25
là lượng tiền vốn vay ngân hàng, đơn vị
tính là nghìn đồng. Lúc đó chúng ta có BTQHTT sau với 33 ràng buộc (chưa kể điều kiện không
âm của các biến).
Hiệu quả kinh tế cần cực đại hóa là: f(x) = 4306,14x
1
+ 4168,73x
2
+ 3115,21x
3
+
3013,11x
4
+ 4158,68x
5
+ 4860,91x
6
+ 4295,31x
7
+ 3706,11x
8
+ 3788,25x
9
+ 12747,31x
10
+
12752,96x
11
+ 12064,81x
12
+ 79228,88x
13
+ 35961,31x
14
+ 10823,91x
15
+ 7950,16x
16
+
7928,06x
17
+ 5738,46x
18
+ 11129,50x
19
+ 429,00x
20
+ 674,00x
21
+ 219,50x
22
+ 11,10x
23
– 15,50x
24

– 0,12x
25
→ Max.
Các ràng buộc hay các điều kiện hạn chế được định lượng như sau:
x
1
≤ 80,88; x
2
≤ 75,78; x
3
≤ 64,89; x
4
≤ 64,89; x
5
≤
10,50; x
6
≤ 64,89;
x
7
≤ 64,89; x
8
≤ 16,50; x
9
≤ 45,30; x
10
≤ 5,50; x
11
≤ 8,50; x
12
≤ 6,80; x
13
≤
13,70;
x
14

≤
14,50; x
15
≤
4,80; x
16

≤
4,50; x
17

≤
4,20; x
18
≤
10,20; x
19

≤
33,11; x
20

≤
40,00;
x
21
≤ 180,00; x
22
≤ 4280; x
23
≤ 18800;
11
x
5
+ x
9
+ x
11
+ x
13
+ x
18
≤ 45,30; x
3
+ x
6
+

x
7
+ x
10
+ x
12
+ x
16
+ x
17
≤
64,89; x
4
+ x
8
+
x
14
+ x
15
≤ 64,89; x
1
+ x
13
≤ 80,88; x
2
+ x
13
≤ 75,88;
205,5x
1
+ 150x
3
+ 75,75x
4
+ 75x
5
+ 225,5x
6
+ 221,5x
7
+ 102,7x
8
+ 100,75x
9
+ 360 x
10
+
140x
11
+ 385x
12
+ 1833,6x
13
+ 1446,3x
14
+ 210,25 x
15
+ 410,5x
16
+ 360,5 x
17
+ 176x
18
+ 67x
19
+
20x
20
+ 16x
21
+ 9x
22
+ 0,3x
23
– x
24
≤ 226149,00;
201,5x
2
+ 150x
3
+ 75,25x
4
+ 102,7x
8
+ 100,75x
9
+ 140x
11
+ 2475,4x
13
+ 1446,3x
14
+
210,25x
15
+ 176x
18
+ 58x
19
+ 16x
20
+ 12x
21
+ 7x
22
+ 0,2x
23
– x
24
≤ 152190,00;
2871,89x
1
+ 2691,89x
2
+ 2243,62x
3
+ 2243,66x
4
+ 3630,89x
5
+ 4780,06x
6
+ 2229,11x
7
+
2401,41x
8
+ 2326,88x
9
+ 16440,61x
10
+ 16058,39x
11
+ 15960,61x
12
+ 68494,59x
13
+ 23146,11x
14
+ 13676,26x
15
+ 6061,76x
16
+ 11083,11x
17
+ 10391,89x
18
+ 18058x
19
+ 1223x
20
+ 1098,5x
21
+
624,5x
22
+ 12x
23
– 15,5x
24
– x
25
≤ 3881500;
3,5x
5
+ 8x
6
+ 3,5x
7
+ 4,1x
8
+ 3,5x
9
+ 4,16x
10
+ 3,5x
11
+ 4x
12
+ 12,1x
13
+ 14,4x
14
+ 3,42x
15

+ 11,58x
16
+ 8x
17
+ 7,5x
18
– 3 x
20
– 2x
21
– 0,95x
22
– 0,0052x
23
≤ 0; 5,1x
1
+ 4,96x
2
+ 3,85x
3
+
3,8x
4
≥ 921,25;
Các biến đều phải thỏa mãn điều kiện không âm: x
j
≥ 0, ∀j =
1, 25
.
Bằng cách áp dụng phương pháp đơn hình để giải BTQHTT có thể tìm được phương án tối
ưu của mô hình trên như sau:
x
1
= 67,18; x
2
= 62,18; x
3
= 25,19; x
4
= 45,59; x
5
= 10,50; x
6
= 18,7; x
9
= 2,40; x
10
= 5,50; x
11
= 8,50; x
12
= 6,80; x
13
= 13,70; x
14
= 14,50; x
15
= 4,80; x
16
= 4,50; x
17
= 4,20; x
18
= 10,20; x
19
=
33,11; x
20
= 40,00; x
21
= 180; x
22
= 4280; x
23
= 18800; x
25
= 2368646. Hiệu quả kinh tế cực đại đạt
được là 4325863 (nghìn đồng).
Ví dụ 4. Bài toán cực đại hoá giá trị sản xuất (Mô hình tối ưu phi tuyến giải bài toán cực
đại hoá giá trị sản xuất trên một héc ta nuôi cá tại huyện Văn Giang, tỉnh Hưng Yên)
Sử dụng số liệu điều tra 112 hộ nuôi cá vùng đồng trong đê thuộc 4 xã thuộc huyện Văn
Giang, Hưng Yên, để tìm phương trình hồi quy mũ, chúng ta nh
ận được hàm giá trị sản xuất
(dạng Cobb – Douglas) chính là hàm mục tiêu cần cực đại hoá sau đây:
z = f(x) = 19,375 x
1
0,236
x
2
0,104
x
3
0,096
x
4
0,056
x
5
0,056
e
0,168 x6
e
0,066 x7

→ Max
trong đó:
z : giá trị sản xuất bình quân 1 ha 1 năm (triệu đồng / ha),
x
1
: chi phí giống bình quân 1 ha 1 năm (triệu đồng / ha),
x
2
: chi phí thức ăn bình quân 1 ha 1 năm (triệu đồng / ha),
x
3
: chi phí lao động bình quân 1 ha 1 năm (triệu đồng / ha),
x
4
: chi phí khấu hao và thuê đất bình quân 1 ha 1 năm (triệu đồng / ha),
x
5
: các chi phí khác bình quân 1 ha 1 năm (triệu đồng / ha),
x
6
, x
7
: các biến 0 – 1 giả định về hình thức nuôi,
x
6
= 1 đối với nuôi chuyên canh, x
6
= 0 đối với nuôi tổng hợp,
x
7
= 1 với hình thức nuôi 1 loại cá chính kết hợp với các loại cá khác,
12
x
7
= 0 với hình thức nuôi 2 loại cá chính kết hợp với các loại cá khác.
Đặt: x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= TC, với TC là mức đầu tư / tổng chi phí.
Tùy theo từng mức đầu tư / tổng chi phí ta có một trong các ràng buộc:
– Với mức đầu tư dưới 40 triệu đồng / ha: x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
< 40,
– Với mức đầu tư 40–50 triệu đồng / ha: 40
≤ x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
< 50,
– Với mức đầu tư 50–60 triệu đồng / ha: 50
≤
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
< 60,
– Với mức đầu tư 60–70 triệu đồng / ha: 60
≤ x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
< 70,
– Với mức đầu tư trên 70 triệu đồng / ha: x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5

≥
70.
Với hình thức nuôi ta có ràng buộc: x
6
+ x
7
= 1(x
6
, x
7
chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1).
Trên đây là BTQHPT, với 5 biến liên tục và 2 biến nguyên dạng 0 – 1. Sử dụng phương
pháp tối ưu phi tuyến thích hợp có tên gọi là RST2ANU để giải BTQHPT toàn cục hỗn hợp
nguyên đã thiết lập trên đây ta có kết quả trong bảng I.1.
Bảng I.1. Kết quả cơ cấu đầu tư tối ưu vùng đồng
Đầu tư (tr/ha) < 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 > 70
x
1
35 – 45% 39 – 45% 39 – 45% 35 – 45% 35 – 40%
x
2
15 – 20% 17 – 25% 17 – 23% 15 – 20% 18 – 25%
x
3
15 – 20% 15 – 20% 15 – 20% 16 – 19% 17 – 23%
x
4
10 – 15% 7 – 15% 8 – 15% 9 – 13% 10 – 15%
x
5
10 – 15% 10 – 15% 9 – 15% 9 – 15% 10 – 15%
Giá trị sản xuất (tr đ / ha) < 78,1 78,1 – 88,3 88,3 – 97,5 97,5– 106 > 106
Thu nhập ròng (tr đ / ha) – 38,1–38,3 38,3–37,5 37,5–36 –
Việc thực hiện cơ cấu đầu tư tối ưu làm giá trị sản xuất (GO) cũng như thu nhập ròng (NI =
GO – TC) ở từng mức đầu tư tăng lên rõ rệt so với thực tế sản xuất tại địa phương. Đặc biệt, mức
đầu tư 50 triệu đồng / ha cho ta thu nhập hỗn hợp cao nhất là 38,3 triệu đồng / ha, lớn hơn 8 triệu
đồng / ha so với trước khi áp dụ
ng cơ cấu đầu tư tối ưu cũng như hình thức nuôi thích hợp. Tại
mức đầu tư này, cơ cấu đầu tư tối ưu là x
1
từ 19,6 – 21,5 triệu đồng (chiếm 39,2 – 42,2%), x
2
từ
8,6 – 9,8 triệu đồng (17,2 – 19,6%), x
3
từ 8,6 – 9,9 triệu đồng (17,2 – 19,8%), x
4
từ 4,7 – 6,4 triệu
đồng
(9,4 – 12,8%), x
5
từ 4,9 – 6,3 triệu đồng (9,8 –12,6%) với hình thức nuôi chuyên canh (x
6
= 1).
Một cách cụ thể hơn, khi áp dụng phương pháp tối ưu thích hợp tại mức đầu
tư 50 triệu đồng / ha có thể tìm được phương án tối ưu sau: z
max
= 88,360733 với
x
1
= 21,498072, x
2
= 9,528987, x
3
= 8,758034, x
4
= 5,138906, x
5
= 5,076000, x
6
= 1 và x
7
= 0.
Ví dụ 5. Bài toán tối ưu thông số sàng phân loại (Mô hình tối ưu phi tuyến giải quyết vấn
đề tính toán một số thông số hình học và động học của cơ cấu sàng phân loại dao động)
13
Ví dụ này chỉ nêu vắn tắt một ứng dụng của mô hình tối ưu phi tuyến một mục tiêu trong
việc tìm nghiệm của hệ phương trình phi tuyến phát sinh trong quá trình tính toán một số thông số
hình học và động học của cơ cấu sàng phân loại dao động (cần chú ý rằng nhiều phương pháp
tính toán thông dụng khác của giải tích số đã tỏ ra không hiệu quả):
r cosϕ
1
+ v cosϕ
2
+
//
3
v
cosϕ
3
+ v
4
cosϕ
4
– x
C1
= 0,
r sinϕ
1
+ v sinϕ
2
+
//
3
v
sinϕ
3
+ v
4
sinϕ
4
– y
C1
= 0,
r cosϕ
1
+ v cosϕ
2
+
/
3
v
cos(ϕ
3
– α) + v
5
cosϕ
5
– x
D1
= 0,
r sinϕ
1
+ v sinϕ
2
+
/
3
v
sin(ϕ
3
– α) + v
5
sinϕ
5
– y
D1
= 0.
Trong hệ phương trình phi tuyến trên các thông số đã biết là: r = 0,05m;
v = 0,30m;
//
3
v
= 0,15m;
/
3
v
= 1,075m; v
3
= 1,025m; v
4
= 0,50m; v
5
= 0,40m; x
C1
= 0,365m; y
C1
=
0,635m; x
D1
= 1,365m; y
D1
= 0,635m; α = π/8.
Để giải hệ phương trình phi tuyến khi ϕ
1
= kπ/8 (k = 0, …, 9), chúng ta cần cực tiểu hoá
hàm mục tiêu sau:
z = (r cosϕ
1
+ v cosϕ
2
+
//
3
v
cosϕ
3
+ v
4
cosϕ
4
– x
C1
)
2
+ (r sinϕ
1
+ v sinϕ
2
+
//
3
v
sinϕ
3
+
v
4
sinϕ
4
– y
C1
)
2
+ (r cosϕ
1
+ v cosϕ
2
+
/
3
v
cos(ϕ
3
– α) + v
5
cosϕ
5
– x
D1
)
2
+ (r sinϕ
1
+ v sinϕ
2
+
/
3
v
sin(ϕ
3
– α) + v
5
sinϕ
5
– y
D1
)
2
→ min
Kết quả tính toán được tổng hợp trong bảng I.2 với z
min
= 0.
Bảng I.2. Kết quả tính toán giá trị các thông số của sàng phân loại
ϕ
1

∈
[0,2
π
]
ϕ
2

∈
[0,
π
]
ϕ
3
∈
[0,
π
]
ϕ
4
∈
[0,
π
]
ϕ
5
∈
[0,
π
]
0 0,226128 0,551311 1,783873 1,666775
π/18
0,199269 0,550518 1,784628 1,670250
2π/18
0,170835 0,550590 1,782751 1,668853
3π/18
0,143343 0,550490 1,778826 1,663697
4π/18
0,112669 0,552073 1,770032 1,652171
5π/18
0,090986 0,551991 1,759350 1,639575
6π/18
0,066036 0,553576 1,745374 1,622823
7π/18
0,051284 0,554296 1,730174 1,602970
8π/18
0,039053 0,555262 1,713242 1,581813
9π/18
0,033773 0,556277 1,695605 1,560720
Ví dụ 6. Bài toán thiết kế trục máy (Mô hình quy hoạch phi tuyến đa mục tiêu giải quyết
bài toán thiết kế trục máy)
Trong ví dụ này chúng ta đề cập tới một mô hình tối ưu phi tuyến hai mục tiêu.
14
Mục tiêu 1 là cực tiểu hoá thể tích của trục máy:
f
1
(x) = 0,785 [x
1
(6400 – x
2
2
) + (1000 – x
1
) (1000 – x
2
2
)] (mm
3
),
Mục tiêu 2 là cực tiểu hoá độ nén tĩnh của trục:
f
2
(x) = 3,298
×
10
–5
9
3
1
74 84 84
22 2
1110
x
4,096 10 x 10 x 10 x
⎡⎤
⎛⎞
−+
⎢⎥
⎜⎟
×− − −
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
(mm/N).
Ở đây, x = (x
1
, x
2
) là véc tơ quyết định, với x
1
, x
2
là các biến quyết định sau: x
1
– độ dài
phần giáp nối trục, x
2
– đường kính trong của trục. Các thông số khác đã được thể hiện trong các
hàm mục tiêu f
1
(x) và f
2
(x).
Vậy cần phải chọn các giá trị cho các biến quyết định (còn gọi là các biến thiết kế) x
1
,
x
2
để tối ưu hoá đồng thời các mục tiêu 1 và 2 trong các điều kiện ràng buộc sau:
g
1
(x) = 180 –
6
1
74
2
9,78 10 x
4,096 10 x
×
×−

≥
0 (1.1)
g
2
(x) = 75,2 – x
2

≥
0 (1.2)
g
3
(x) = x
2
– 40
≥
0 (1.3)
g
4
(x) = x
1

≥
0 (1.4)
Các điều kiện (1.2), (1.3), (1.4) là dễ hiểu, còn điều kiện (1.1) nảy sinh là do yêu cầu: Một
mặt, trục máy phải chịu đựng được tới mức tối đa lực F
max
= 12000 N. Mặt khác, độ nén kết nối
cho phép là 180 N/mm.
Việc phát biểu bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới dạng toán học (chính là việc lập mô hình
toán học cho vấn đề phát sinh) là một khâu rất quan trọng nhằm mô tả tốt nhất hành vi của hệ
thống đang được xem xét, mặt khác nhằm tìm ra được các phương pháp tối ưu hoá có hiệu quả để
đi tới một phương án đủ tốt và mang lại lợi ích. Sau đây, v
ới mục đích tìm hiểu bước đầu, việc áp
dụng phương pháp tương tác người – máy tính giải bài toán tối ưu hai mục tiêu đã được thiết lập
trên đây sẽ được trình bày một cách vắn tắt.
Trước hết, hai mục tiêu f
1
(x) và f
2
(x) được chuyển thành hai hàm thuộc mờ phản ánh độ
thoả mãn của người ra quyết định đối với từng mục tiêu. Các hàm thuộc mờ này là các hàm tuyến
tính từng khúc, được viết dưới dạng giản lược như sau cho một số nút nội suy:
0 nếu f
1

≥
6,594
×
10
6
= a
1

μ
1
(f
1
) = 0,5 nếu f
1
= 4
×
10
6
= b
1

1 nếu f
1

≤
2,944
×
10
6
= c
1
,


0 nếu f
2

≥
0,499
×
10
–3
= a
2

μ
2
(f
2
) = 0,5 nếu f
2
= 0,450
×
10
–3
= b
2

1 nếu f
2

≤
0,338
×
10
–3
= c
2
.