cac phuong phap giai phuong trinh vo ti

Giải:
Chuyển vế phơng trình đã cho, ta có:
(1)
phơng trình (1) có nghĩa khi và chỉ khi: 2x + 3 0 (2)
x + 2 0 x - 2

với điều kiện (2) thì phơng trình (1) tơng đơng với:
2x + 3 = (x + 2)
2
x
2
+ 2x + 1 = 0 (3)
Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm duy nhất là: x = - 1.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1.
Lu ý: Nhiều em khi gặp bài này thờng giải theo cách quen thuộc:
Điều kiện

x + 2 0

x - 2.
2x + 3 = (x + 2)
2


(x + 1)
2
= 0
và cũng tìm đợc nghiệm x = - 1 thoả mãn (x - 2).
Nhng với điều kiện (- 2 ) thì lại không tồn tại vì 2x + 3 < 0.
Ví dụ 3: Giải phơng trình
(1)
Giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 x 0 x 1
1 2x 0 (2)

x + 4 0 x - 4
Với điều kiện (2) phơng trình (1) tơng đơng với:


1 x + 1 2x +


(3)
với điều kiện 2x + 1 0 (4) thì phơng trình (3) tơng đơng với:
2x
2
3x + 1 = 4x
2
+ 4x + 1
2x
2
+ 7x = 0 (5)
Giải phơng trình (5) ta đợc x = 0 (thỏa mãn điều kiện (2) và (4))

không thỏa mãn điều kiện (4)
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2.
0322
=++
xx
232
+=+
xx
2
3

x
232
+=+
xx
2
3

x
32
+
x
4211
+=+
xxx
2
1

x
2
1
4

x
4)21).(1(2
+=
xxx
22
)4()211(
+=+
xxx
24)21).(1(2
+=
xxx
12)21).(1(
+=
xxx
2
1

x
( )
2
2
)12()21).(1(
+=
xxx
2
7
=
x
Lu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần
2
1

x
thì phơng trình (1) đã tơng đơng với
phơng trình (3) vì khi bình phơng thì (x + 4) bằng một bình phơng, đơng nhiên là
dơng.
Với , điều này chỉ đúng khi a 0 ; b 0 và trong trờng hợp
a 0; b 0 thì .
Phơng pháp đa về hằng đẳng thức quen thuộc.
Với phơng pháp này chúng ta thờng phân tích, thêm bớt để đa về dạng:
A = B A = B
A = - B (với B 0)
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:



Điều kiện để căn thức có nghĩa x 2 0 x 2


x 2 0 x 3
x 2 1
Vậy khi x 3
khi 2 x < 3
Tóm lại phơng trình sau tơng đơng với:
khi x 3
khi 2 x < 3
a) - 1 = 0 (vô lí)
b) khi 2 x < 3
thỏa mãn 2 x < 3.
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là:
Lu ý: Đối với phơng pháp này ta phải thật khéo léo khi xử lý quá trình:
Nhiều bạn rất hay làm thiếu trờng hợp (- A).
Ví dụ 2: Giải phơng trình sau:
NnvớiBAB)(A
2n
2n
=
NnvớiBAB)(A
12n
12n
+=
+
+
13x22x
=
13x23x
=+
1
baab
=
.
baab .
=
12x22x12x2 2 - x
=+++
1
12x21x1x2x2
=+
( ) ( )
11
22
=+
2x12x
11
=+
2x12x
)(11
+=+
2x12x
12x12x12x
+=++
1
01

2x
=
12x
2
1
=
2x
1
+
2x
111
+=+
2x2x
111
+=+
2x2x
4
1
2
=
x
4
9
=
x
4
9
=
x



<

==
0
0
AkhiA
AkhiA
AA
2
1
+
2x
1

2x
111
+=+
2x2x
(1)
(2)
Điều kiện để căn thức tồn tại x 3 0 x 3 (3)
với điều kiện (3) phơng trình (2) tơng đơng với:

thỏa mãn điều kiện (3)
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x
1
= 3; x
2
= 7.
Lu ý:
Ta có thể dùng

A = B
A = - B (với B 0)
thì việc giải sẽ nhanh hơn.
Ví dụ 4: Giải phơng trình sau:
(1)
Lời giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa:
x 1 0 x 1
x 0 x 0 x 1 (*)
x
2
x 0 x 0 hoặc x 1
x = 2 thoả mãn (*) hoặc
với điều kiện x 1 thì hai vế của (3) đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc:

- (x 1)
2
1 < 0 với x 1 suy ra phơng trình (3) vô nghiệm.
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2.
Phơng pháp dùng miền xác định.
( )
13x
=+
2
1
13x
=+
1
13x
=
1
13x
=
1
23x
=
03x
=
4
=
3x
0
=
3x
7
=
x
3
=
x
=
2
A A
BA
=
0xxx1).(x1x2x
2
=+
( )
0xxx1).(x1x2x1
=++
1.11
( ) ( )
0x1)x.(x.1x
=
11.1
2
( )
[ ]
0.1)x.(xx1x
=
111
( )
[ ]
0.1)x.(xx1x
=
111
( )
( )
=
2011x
111
==
x1x
( )
311
+=
xx1x
11)x.(x1)x.(x21x
++=
11)(x1)x.(x2
2
=
Khi sử dụng phơng pháp này ta thờng chia nhỏ TXĐ của phơng trình và kết hợp với
các điều kiện ràng buộc ta sẽ có nghiệm của phơng trình.
Ví dụ 1: Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x(x 1) 0 x 0 hoặc x 1 x 1
x(x + 2) 0 x - 2 hoặc x 0 x - 2
- Với x - 2 ta có phơng trình tơng đơng với:



Vì x - 2 nên hai vế đều dơng, ta bình phơng hai vế:
4x
2

+ 4x 8 = 1 4x + 4x
2
8x = 9
- Với x 1, ta có:
(1)
Bình phơng hai vế ta đợc :


8x = 9
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là :
Chú ý : Khi sử dụng phơng pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ của phơng
trình một cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm ra nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x + 1 0 x - 1
4x + 13 0 x - 1
3x + 12 0 x - 4
Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc:
(1)
(3)
2
x22)x(x1)x(x
=++
x.x22xx1x.x
=+
x22xx1
=+
4x2) 1).(x(x2 2 - x - x1
=++
2x2) xx2
2
=+
1
2
8
9
vi(loại)
8
9
x
=
x.x22xx1x.x
=++
4x2) xx2 2 x 1 - x
2
=++++
2x2) xx
2
+=+
1
mãn)(thỏa
8
9
x
=
8
9
x
=
12 3x13)4x1x
+=+++
4
13
x

12 3x1)13).(x(4x134x1x
+=++++++
2
1 x1)13).(x(4x
=++
Để phơng trình (3) tồn tại - x 1 0 x - 1 (4)
Kết hợp (2) với (4) ta đợc x = - 1 và thỏa mãn (1)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = - 1.
Ví dụ 3:
Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình sau:
(2)
* Với 0 x 1 0
x 1 1 x 2
Thì (2)
* Với
Thì (2) luôn đúng với x [1;2]
Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: 1 x 2.
Phơng pháp dùng lợng liên hợp:
- Đối với phơng pháp này, chúng ta rất dễ áp dụng nhng nó thờng phải áp dụng kết
hợp với các phơng pháp khác thì mới có hiệu quả.
- Khi sử dụng chúng ta thờng áp dụng công thức sau:

Ví dụ 1:
Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
x + 1 0 x - 1
4x + 13 0 x - 1
3x + 12 0 x - 4
Ta nhận thấy rằng:
Vậy từ (1) ta có : (2)
Kết hợp (1) và (2) ta đợc :
2
=++
1x2.x1x2.x
( ) ( )
211
22
=++
1x1x
211
=++
1x1x
1

1x
mãn)Thoả2x1x1x1x (1211
===++
2x1
11x
01x
1x
<



<

<
1
221x1x
==++
211
( ) ( )
. A B
+ =
A B A B
( )
( )
BABABA.BA
3 2
3
3 2
33
=+
12 3x13)4x1x
+=+++
4
13
x

( )( )
12311341134.1134
+=+=+++++
xxxxxxx
1231
+=++
xx13 4x
11341
++=+++
xxx13 4x
x + 1 = 0 x = - 1 (thỏa mãn điều kiện *)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là : x = - 1.
Lu ý : Khi khai căn của một đa thức, chúng ta phải chú ý điều kiện để đa thức d-
ơng và phải chọn lợng liên hợp để rút ngắn lời giải.
Ví dụ 2 :
Giải phơng trình :
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa
x
2
+ x 0 x - 1 (*)
x 0 x > 0
x
2
+ x 0
x 0
Phơng trình (1) tơng đơng với:



x - 1 x - 1
25(x
2
+ x) = (3x + 3)
2
16x
2
+ 7x 9 = 0
Ta thấy 16 7 9 = 0, vậy phơng trình có nghiệm là:
x
1
= - 1 (thỏa mãn)
(thỏa mãn)
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm : x
1
= - 1;

Ví dụ 3: Giải phơng trình
(1)
Lời giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
0 x 0
2 + x 0 x - 2 (*)
0
=+
1x
x
3
xxx
1
xxx
4
22
=
+

++
0
++
xx
2
x
0
+
xx
2
x
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
x
3
xxx.xxx
xxx
xxx.xxx
xxx4
22
2
22
2
=
+++
++

+++
+
( ) ( )
x
3
x
xxx
x-
xxx4
22
=
++

+
33.5
=+
xxx
2
33.5
+=+
xxx
2
16
9
=
2
x
16
9
x
=
2
22
=
+

++
+
x22
x - 2
x22
x 2
x22
++
phơng trình (1) tơng đơng với:




x = - 2 x = - 2
x > 0 x > 0
8(2 + x) = x
2
- x
2
+ 8x + 16 = 0
x = -2
x> 0

(loại)
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là:
x
1
= - 2 (thỏa mãn (*)
(thỏa mãn (*)
Tóm lại: S =
Ví dụ 4: Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Gọi miền D là miền xác định của phơng trình tức là D đợc xác định bởi hệ sau:
3x
2
7x + 3 0
x
2
2 0
3x
2
5x 1 0
x
2
3x + 4 0
bằng cách nhân liên hợp của (1) về dạng sau:



( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
22
.
.
=
+++
++
+
+++
++
x22x22
x22x - 2
x22x22
x22x 2
22
x
2x.x2x.22.x22.x2x.2x.x22.22.
=

+++++++
xx2x2 .2.2 4
=+
022.(
=++
xx2x2
0.)2(.2
=++
x2xx2
0
=+
x2
xx2
=+
22
244
1
+=
x
244
2
=
x
244
2
+=
x
{ }
244;2
+
4315337
22
+=+
xxxx2xx3x
22
43215337
222
+=+
xxxxxx3x
2
( )( )
=
++
+++
1 - x3x3x
1 - x3x3x1 - x3x3x
22
2222
537
537.537
x
xx
( ) ( )
4 xxx
4 xxx4 xxx
22
2222
++
+++
=
32
32.32
4 xxx1 - x3x3x
2222
++

=
++

32
63
537
24 x
x
x
(5)
Ta thấy rằng với x > 2 thì chắc chắn không phải là nghiệm của (5) vì với mỗi x > 2,
x D thì:
* 4 2x < 0
* 3x 6 > 0
Tơng tự nh vậy với x < 2, x D thì:
* 4 2x < 0
* 3x 6 > 0
rõ ràng x = 2 D thỏa mãn (5) vì:
Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là: x = 2.
Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
- Để khử căn thức, ngời ta có thể đa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tuỳ theo dạng
của phơng trình mà các bạn lựa chọn cho thích hợp.
- Đây là một công cụ tơng đối mạnh và đạt hiệu quả cao trong việc khử căn thức
song nó cũng có nhiều chỗ làm cho các bạn nhầm giữa ẩn đã cho với ẩn mới.
I. Đặt ẩn phụ để chuyển về phơng trình hữu tỉ :
- Ta thờng đặt một ẩn mới thay ẩn của phơng trình song chúng ta phải chú tới điều
kiện liên quan giữa ẩn cũ và ẩn mới.
Ví dụ 1:
Giải phơng trình:
Lời giải :
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là : x 3 0 x 3 (2)
Đặt
Thay vào (1) ta đợc phơnh trình mới tơng đơng với phơng trình (1)

Với
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 4
Chú ý :
0
537
24

++

1 - x3x3x
22
x
x
0
32
63

++

4 xxx
x
22
0
32
63

++

4 xxx
22
x
0
537
24

++

1 - x3x3x
22
x
x
00
32
62.3
532.7
2.24
=
++

=
++

4 .2221 - .23.23.2
2222
( )
1232
=
xx
21303
22
=+==
xtxtxt
( ) ( )
( ) ( )
2/413311
/10101212
2
22
MTxxxt
MTtttttt
====
===++=
- Khi đặt ẩn phụ ví dụ thì cha chắc t 0 mà còn phải tuỳ thuộc vào tập xác
định của A mà 0 t (

R
+
) chúng ta phải hết sức chú ý điều này, tránh tr-
ờng hợp thiếu hoặc thừa nghiệm nh trong ví dụ sau đây:
Ví dụ 1 : Giải phơng trình sau :
(1)
Lời giải :
Đặt thì Y
2
= (x - 3)(x + 1) nên phơng trình (1) đa về
dạng :
Y
2
+ 4Y + 3 = 0 ta có 1 4 + 3 = 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Y = -1 và Y = - 3
+ Với Y = 1

Để (*) có nghĩa thì x 3 < 0 x < 3 (**).
Bình phơng hai vế ta đợc 1 = (x - 3)(x + 1) x
2
2x - 4 = 0
Ta có = 1 + 4 = 5 > 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
+ Với Y = - 3
Với điều kiện (**) phơng trình (***) tơng đơng với
9 = (x - 3)(x + 1) x
2
2x 12 = 0
Có

= 1 + 12 = 13 > 0. Phơng trình có hai nghiệm:
Tóm lại: Phơng trình (1) có hai nghiệm:
Chú ý: Rất nhiều bạn khi gặp bài này thờng đặt ẩn phụ là: ,
điều này cha đúng khi x 3 > 0, do đó ta phải đặt nh trên.
Ví dụ 2: Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x 1 0 x 1.
Đặt t
3
= 2 x x 1 = 1 t
3
vì x 1 > 0 1 t
3
0 t
3
1 t 1, phơng trình (1) trở thành:
1 t = 0
1 + t + t
2
= 1 - t
( )( ) ( )
3
3
1
.3413
=

+
++
x
x
xxx
( )
3
1
.3

+
=
x
x
xY
( ) ( )
*
3
1
.31

+
=
x
x
x
( )
( )( )
**mãnThoả x
mãnthoả Khôngx
351
351
2
1
<=
>+=
( ) ( )
***
3
1
.33

+
=
x
x
x
( )
( )( )
**mãnThoả x
(**) mãnthoả Khôngx
131
131
2
1
=
+=
131;51
21
==
xx
)1).(3(
+=
xxt
112
3
=
xx
3
2 xt
=
011.111
23
=+++=
tttttt
( )
011.1
2
=++
tttt
01
=
t
ttt
=++
11
2
At
=
t = 1
t = 1 t = 0 đều thỏa mãn t 1
t
2
+ 2t = 0 t = -2
* Với t = 1 1 = 2 x x = 1.
* Với t = 0 0 = 2 x x = 2.
* Với t = - 2 - 8 = 2 x x = 10.
Vậy phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt : x
1
= 1 ; x
2
= 2 ; x
3
= 10.
Chú ý :
Với điều kiện x 1 ta suy ra t 1, việc này sẽ giúp chúng ta giải đợc một cách
nhanh chóng khi ta tìm đợc những nghiệm t không thỏa mãn, tránh đợc quá trình
giải lan man với những nghiệm t không cần thiết.
Ví dụ 4 : Giải phơng trình
(1)
Lời giải:
Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:
3 + x 0 x 3
6 x 0 x 6 - 3 x 6 (*)
(3 + x).(6 x) 0 - 3 x 6
Đặt X = với X 0
Ta có X
2
=
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :
X
2
(1
2
+ 1
2
).(3 + x + 6 x) = 18
X 0
Phơng trình (1) trở thành : X
2
2X 3 = 0
Phơng trình có 1 + 2 + 3 = 0, nên phơng trình có nghiệm là:
X
1
= - 1 Không thỏa mãn với điều kiện (**)
X
2
= 3Thỏa mãn điều kiện (**)
Với X = 3
x + 3 = 0 x = - 3
6 x = 0 x = 6
Thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm: x
1
= -3; x
2
= 6.
Ví dụ 5: Giải phơng trình
3
21 x
=
3
20 x
=
3
22 x
=
3)6).(3(63
=++++
xxxx
xx
+++
63
( )
2
63 xx
+++
)6).(3(
2
9
2
xx
X
+=

( )

2.302.3 XX
3
2
9
2
=


X
X
xx
+++=
633
0)6).(3(
=+
xx

Xem chi tiết: cac phuong phap giai phuong trinh vo ti